Deret Aritmatika

Definisi : Deret/barisan bilangan aritmatika adalah sekumpulan bilangan yang disusun sedemikian rupa sehingga jarak/selisih/difference antara setiap suku dengan suku berikutnya selalu tetap (konstan).
Definisi: Setiap bilangan pada deret disebut sebagai suku/element/term
Selanjutnya, jika setiap suku pada deret diberi index, maka deret dapat dituliskan sebagai berikut :

.
Contoh-contoh deret aritmatika :

. Deret aritmatika terhingga (finite), yaitu jumlahnya terbatas. Selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah 2.

. Deret aritmatika terhingga. Selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah 1.

. Deret aritmatika tak terhingga (infinite), yaitu jumlahnya tidak terbatas. Selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah 1.

. Deret aritmatika terhingga. Selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah -1.

. Deret aritmatika tak terhingga. Suku pertamanya adalah 4 dan selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah -3.

. Deret aritmatika tak terhingga. Suku pertamanya adalah 0 dan selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah 2.5

$\frac{5}{7},\frac{6}{7},\frac{7}{7},\frac{8}{7},\frac{9}{7},\frac{10}{7},...$ . Deret aritmatika tak terhingga. Suku pertamanya adalah $\frac{5}{7}$ dan selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah $\frac{1}{7}$

. Deret aritmatika tak terhingga. Suku pertamanya adalah dan selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah .

. Deret aritmatika terhingga. Suku pertamanya adalah dan selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah .

Perhatikan baik-baik contoh terakhir.
Di dalam matematika, barisan bilangan seringkali dinyatakan dengan

dimana

, … dan

. Notasi ini dalam matematika bermakna :
Suku pertama (

) adalah

dan suku ke-n (

) adalah

dimana

adalah jarak/selisih antara suatu suku dengan suku berikutnya, yakni jarak antara

dengan $U_{m+1}$ dimana $1\leq m\leq n$ . Blog mengikuti notasi ini.
Definisi formalnya :

Contoh barisan aritmatika yang lain :

Deret bilangan cacah $\mathbb{N}_0$ : 0, 1, 2, 3, 4, 5 …
Tak terhingga dengan , dan

Deret bilangan asli $\mathbb{N}_1$ : 1, 2, 3, 4, 5, 6 …
Tak terhingga dengan , dan .

Deret bilangan genap : 0, 2, 4, 6, 8, 10,…
Tak terhingga dengan , dan

Deret bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ….
Tak terhingga dengan , dan

Deret bilangan kelipatan 2 : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 … 2n
Terhingga dengan , dan

Deret bilangan kelipatan 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 … 3n
Terhingga dengan , dan

Deret bilangan kelipatan 3 : 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 … 3(n-1)
Terhingga dengan , dan

Sifat-sifat Deret Aritmatik

Perhatikan aljabar di bawah ini :

Kita peroleh sifat pertama dari deret aritmatika, yaitu

.
Penjabaran yang lain :

Mengingat
$\begin{array}{rlrlr}U_{m+n}&=&U_1&+&(m+n-1)d\\2.U_{m+n}&=&2.U_1&+&2.(m+n-1)d\end{array}$
Maka bisa disimpulkan sifat kedua dari deret aritmatika, yaitu $U_m+U_{m+2n}=2.U_{m+n}$
Sifat kedua inilah yang nantinya akan menjadi dasar teori untuk rataan aritmatik (Arithmetic Mean). Sebagai gambaran saja, sifat kedua ini dapat dituliskan menjadi $\frac{U_m+U_{m+2n}}{2}=U_{m+n}$ yang dapat diterjemahkan secara statistik : “nilai rata-rata dari

dan $U_{m+2n}$ adalah $U_{m+n}$ “.

Jumlah Semua Suku Pada Deret

Alkisah, Carl Friedrich Gauss, salah satu matematikawan terbaik dan yang paling berpengaruh sepanjang masa, menemukan metode untuk menghitung nilai dari

ketika beliau masih berusia 10 tahun. Metode yang diperkenalkan oleh Gauss di usia belia itu masih belum tergantikan hingga saat ini. Untuk menghormati jasa beliau, metode ini dinamai metode Gaussian.
Metode Gaussian adalah sebagai berikut :

Lantas, bagaimana caranya menghitung jumlah dari suku-suku pada sebuah deret aritmatik?
Untuk menghitung jumlah dari suku-suku pada sebuah deret aritmatik, kita akan meminjam metode Gaussian ini sebentar :
eonardo da Pisa atau Leonardo Pisano (1175 - 1250), dikenal juga sebagai Fibonacci, adalah seorang matematikawan Italia yang dikenal sebagai penemu bilangan Fibonacci dan perannya dalam mengenalkan sistem penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dunia Eropa (algorisma).
Bapak dari Leonardo, Guilielmo (William) mempunyai nama alias Bonacci ('bersifat baik' atau 'sederhana'). Leonardo, setelah meninggal, sering disebut sebagai Fibonacci (dari kata filius Bonacci, anak dari Bonacci). William memimpin sebuah pos perdagangan (beberapa catatan menyebutkan ia adalah perwakilan dagang untuk Pisa) di Bugia, Afrika Utara (sekarang Bejaia, Aljazair), dan sebagai anak muda, Leonardo berkelana ke sana untuk menolong ayahnya. Di sanalah Fibonacci belajar tentang sistem bilangan Arab.
Melihat sistem bilangan Arab lebih sederhana dan efisien dibandingkan bilangan Romawi, Fibonacci kemudian berkelana ke penjuru daerah Mediterania untuk belajar kepada matematikawan Arab yang terkenal mada masa itu, dan baru pulang kembali sekitar tahun 1200-an. Pada 1202, di usia 27, ia menuliskan apa yang telah dipelajari dalam buku Liber Abaci, atau Buku Perhitungan. Buku ini menunjukkan kepraktisan sistem bilangan Arab dengan cara menerapkannya ke dalam pembukuan dagang, konversi berbagai ukuran dan berat, perhitungan bunga, pertukaran uang dan berbagai aplikasi lainnya. Buku ini disambut baik oleh kaum terpelajar Eropa, dan menghasilkan dampak yang penting kepada pemikiran Eropa, meski penggunaannya baru menyebarluas setelah ditemukannya percetakan sekitar tiga abad berikutnya. (Contohnya, peta dunia Ptolemaus tahun 1482 dicetak oleh Lienhart Holle di Ulm.)
Leonardo pernah menjadi tamu Kaisar Frederick II, yang juga gemar sains dan matematika. Tahun 1240 Republik Pisa memberi penghormatan kepada Leonardo, dengan memberikannya gaji.

wisnu blog

pages